在《線性代數(shù)》中，相似矩陣是一個核心概念。兩個方陣A和B若滿足存在可逆矩陣P，使得P?1AP = B，則稱A與B相似。本文將以一道具體題目為例，詳細闡述相似矩陣的判定與計算過程。
題目： 已知矩陣 A = [[1, 2], [0, 1]]， B = [[1, 0], [1, 1]]，判斷A與B是否相似。若相似，求出可逆矩陣P；若不相似，說明理由。
第一步：相似的必要條件——特征值相同
我們檢查矩陣A與B是否擁有相同的特征值。這是兩個矩陣相似的必要條件（但非充分條件）。
對于矩陣A：
其特征多項式為 |λE - A| = |λ-1, -2; 0, λ-1| = (λ-1)2。
因此，矩陣A的特征值為 λ? = λ? = 1（二重根）。
對于矩陣B：
其特征多項式為 |λE - B| = |λ-1, 0; -1, λ-1| = (λ-1)2。
因此，矩陣B的特征值也為 λ? = λ? = 1（二重根）。
特征值相同，滿足相似的必要條件，我們需進一步判斷。
第二步：進一步判斷相似性
對于特征值全相同的方陣，常用的判斷方法是考察其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（或考察其幾何重數(shù)/代數(shù)重數(shù)）。
- 對于矩陣A：
求解齊次線性方程組 (1·E - A)X = 0，即 [[0, -2], [0, 0]]X = 0。
解得基礎(chǔ)解系為 α = [1, 0]?。
因此，特征值1對應(yīng)的特征子空間維數(shù)（即幾何重數(shù)）為1，而其代數(shù)重數(shù)為2。幾何重數(shù)小于代數(shù)重數(shù)，故矩陣A不可對角化。其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為 J = [[1, 1], [0, 1]]（一個二階若爾當(dāng)塊）。
- 對于矩陣B：
求解齊次線性方程組 (1·E - B)X = 0，即 [[0, 0], [-1, 0]]X = 0。
解得基礎(chǔ)解系為 β = [0, 1]?。
因此，特征值1對應(yīng)的幾何重數(shù)也為1，代數(shù)重數(shù)為2。矩陣B同樣不可對角化。其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型同樣為 J = [[1, 1], [0, 1]]。
由于兩個矩陣擁有相同的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（且均為二階若爾當(dāng)塊），根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)（相似的矩陣有相同的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型），可以判定矩陣A與矩陣B相似。
第三步：求解可逆矩陣P
設(shè)存在可逆矩陣P，使得 P?1AP = B。
這等價于求解矩陣方程 AP = PB。
設(shè) P = [[a, b], [c, d]]，代入方程：
[[1, 2], [0, 1]] [[a, b], [c, d]] = [[a, b], [c, d]] [[1, 0], [1, 1]]
計算左右兩邊：
左邊 = [[a+2c, b+2d], [c, d]]
右邊 = [[a+b, b], [c+d, d]]
對應(yīng)元素相等，得到方程組：
① a+2c = a+b => b = 2c
② b+2d = b => 2d = 0 => d = 0
③ c = c+d => 自動滿足（因d=0）
④ d = d => 自動滿足
將 d=0 和 b=2c 代入，并確保P可逆（即行列式 ad - bc ≠ 0）。
此時 P = [[a, 2c], [c, 0]]，其行列式 det(P) = a0 - (2c)c = -2c2。
為使P可逆，需 det(P) ≠ 0，即 c ≠ 0。
我們可以取一組簡單的非零值，例如令 c=1, a=1，則 b=2, d=0。
因此，得到一個滿足條件的可逆矩陣 P = [[1, 2], [1, 0]]。
驗證：
計算 P?1 = (1/(0-2)) [[0, -2], [-1, 1]] = [[0, 1], [0.5, -0.5]]。
計算 P?1AP = [[0, 1], [0.5, -0.5]] [[1, 2], [0, 1]] [[1, 2], [1, 0]]。
先計算中間步驟 AP = [[1, 2], [0, 1]] [[1, 2], [1, 0]] = [[3, 2], [1, 0]]。
再計算 P?1(AP) = [[0, 1], [0.5, -0.5]] * [[3, 2], [1, 0]] = [[1, 0], [1, 1]]。
結(jié)果確實等于B，驗證正確。
結(jié)論：
矩陣A與矩陣B相似。滿足 P?1AP = B 的可逆矩陣P不唯一，其中一個例子是 P = [[1, 2], [1, 0]]。
**** 判斷兩個矩陣是否相似，通常遵循以下步驟：1) 檢查特征值是否相同（必要條件）；2) 若特征值相同，進一步比較若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（或可對角化性質(zhì)及特征子空間維數(shù)）。若兩者完全相同，則矩陣相似。求解變換矩陣P時，通常通過解矩陣方程 AP = PB 來實現(xiàn)。
